Question

今年中考結(jié)束后，我與同學(xué)們交流了寧波中考數(shù)學(xué)卷的壓軸題，最后我們一致認(rèn)為，這道題用了一個(gè)簡(jiǎn)單而重要的數(shù)學(xué)模型“三垂直型”，其實(shí)這種“模型”大家并不陌生．
如圖1，AO⊥BO且AO=BO，由點(diǎn)A和點(diǎn)B向過O點(diǎn)的直線作垂線，可以構(gòu)成如圖兩個(gè)全等三角形；當(dāng)這條直線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到直角內(nèi)部時(shí)，仍然能構(gòu)造出全等三角形！相信同學(xué)們認(rèn)識(shí)了這個(gè)“模型”的特點(diǎn)后，一定能解決下面的問題：
（1）如圖3，AD⊥CD，AD⊥AB，若AB=4，CD=6，BC=BE（可以借助圖中的輔助線，也可以根據(jù)自己所悟，另外畫輔助線），你得到陰影部分的面積是：

 

．
（2）如圖4，點(diǎn)D是Rt△ABC的平分線任一點(diǎn)，連結(jié)DA，作DE⊥DA交另一邊BC于點(diǎn)E，若DB長(zhǎng)是4

2

，AD=DE，則四邊形ABED的面積值是：

 

．
（3）如圖5，點(diǎn)B是兩個(gè)等腰直角三角形的公共頂點(diǎn)，連結(jié)DC和AF，若BE⊥CD交CD于E點(diǎn)，延長(zhǎng)EB交AF于G點(diǎn)，試證明AG=GF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出△BFC≌△BHE，推出CF=EH，求出CF即可；
（2）證△AHD≌△EFD，推出DF=DH，得出正方形DFBH，求出DH長(zhǎng)，求出四邊形ABED面積=正方形DHBF面積即可；
（3）求出AF′=BE=FH，根據(jù)全等即可得出答案．

解答：
解：（1）過B作BF⊥DC于F，過E作EH⊥AB于H，
則AB=DF=4，∠BFC=∠H=∠FBH=90°
∵DC=6，
∴CF=2，
∵∠EBC=∠FBH=90°，
∴∠EBH=∠CBF，
在△BHE和△BFC中

∠EBH=∠FBC ∠H=∠BFC BE=BC

∴△BHE≌△BFC（AAS），
∴EH=CF=2，
∴陰影部分的面積是

1

2

×4×2=4，
故答案為：4；

（2）過D作DH⊥AB于H，DF⊥BE于F，
則DF=BH，∠DHA=∠DHB=∠EBA=∠DFB=90°，
∴四邊形DHBF是矩形，
∵BD平分∠ABE，DF⊥BE，DH⊥AB，
∴DH=DF，
∴四邊形DHBF是正方形，
∴DH=BH=DF=BF，
∵BD=4

2

，∠DHB=90°，
∴DH=DF=BH=BF=4，
∵在△ADH和△EDF中

∠ADH=∠FDE ∠AHD=∠DFE=90° AD=DE

∴△ADH≌△EDF（AAS），
∴S_{四邊形ABED}=S_△ADH+S_{四邊形DHBE}=S_△FDE+S_{四邊形DHBE}=S_{正方形DHBF}=4×4=16，
故答案為：16；

（3）證明：過A作AF′⊥EG于F′，過F作FH⊥EG于H，
∵∠BEC=∠ABC=∠AF′B=90°，
∴∠ECB+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABF′=90°，
∴∠ECB=∠ABF′，
在△BEC和△AF′B中

∠BEC=∠AF′B ∠ECB=∠ABF′ BC=AB

∴△BEC≌△AF′B（AAS），
∴BE=AF′，
同理FH=BE，
∴AF′=FH，
∵AF′⊥EG，F(xiàn)H⊥EG，
∴∠AF′G=∠H，
在△AF′G和△FHG中

∠AGF′=∠FGH ∠AF′G=∠H AF′=FH

∴△AF′G≌△FHG（AAS），
∴AG=GF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大．