Question

19．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）A、B是x軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B間的距離為AB=4，A在B的左邊，過A作AD⊥x軸交拋物線于D，過B作BC⊥x軸交拋物線于C．
①當(dāng)CD∥x軸時(shí)，四邊形ABCD是正方形；
②當(dāng)CD∥x軸時(shí)，在線段BD上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAE的周長最��？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)及這時(shí)△PAE的周長；若不存在，說明理由．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，直線BD上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△BAQ與△ACE相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，把點(diǎn)（0，1）代入拋物線的解析式求得a的值即可；
（2）①依據(jù)題意可求得A、B、C、D的坐標(biāo)，從而可對(duì)四邊形ABCD的形狀作出判斷；②連結(jié)CE交BD與點(diǎn)P，依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AP=PC，故此當(dāng)E、P、C在一條直線上時(shí)，△APE的周長最小，然后求得直線EC和直線BD的解析式，由函數(shù)解析式可求得兩直線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求得CE的長處，最后依據(jù)△PAE的周長=AE+EC求解即可；
（3）過點(diǎn)Q作QF⊥AB，垂足為F，當(dāng)$\frac{QB}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$時(shí)，△BAQ與△ACE相似，從而可求得BQ的長，然后在Rt△QFB中求得QF、BF的長，于是可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，把點(diǎn)（0，1）代入拋物線有：1=a（0-1）²，得：a=1．
所以拋物線的解析式為：y=（x-1）²；
（2）①∵AD∥BC，AB=4，E（1，0），
∴A（-1，0），B（3，0）．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=4，當(dāng)x=3時(shí)，y=4，
∴D（-1，4），C（3，4）．
∴四邊形ABCD是正方形，
故答案為：正方；
②如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴點(diǎn)A點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，直線CE與BD的交點(diǎn)就是點(diǎn)P．
此時(shí)：A（-1，0），B（3，0），C（3，4），D（-1，4），E（1，0）．
在Rt△BEC中，依據(jù)勾股定理可求得EC=2$\sqrt{5}$．
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=-2，
∴直線CE的解析式：y=2x-2．
設(shè)直線BD的解析式：y=mx+n，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{-m+n=4}\end{array}\right.$，解得：m=-1，n=3．
∴直線BD的解析式為y=-x+3．
將y=2x-2與y=-x+3聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{5}{3}$，y=$\frac{4}{3}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
∴△PAE的周長=AE+EC=2+2$\sqrt{5}$．
（3）如圖所示：過點(diǎn)Q作QF⊥AB，垂足為F．

∵四邊形ABCD為正方形．
∴∠QBA=∠CAE=45°．
∴當(dāng)$\frac{QB}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$時(shí)，△BAQ與△ACE相似．
∴$\frac{BQ}{4}$=$\frac{2}{4\sqrt{2}}$，解得：BQ=$\sqrt{2}$．
在Rt△QFB中，∠QBF=45°，
∴QF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=1．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、勾股定理、軸對(duì)稱路徑最短問題、相似三角形的判定定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．