Question

4．如圖1，在△ABC中，AB=BC，P為AB邊上一點(diǎn)，連接CP，以PA、PC為鄰邊作?APCD，AC與PD相交于點(diǎn)E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求證：∠EAP=∠EPA；
（2）如圖2，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，連接FP，將∠AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌�，得到∠MEN（點(diǎn)M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長(zhǎng)線的交點(diǎn)）．猜想線段EM與EN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=BC可證∠CAB=∠ACB，則在△ABC與△AEP中，有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可證得；
（2）首先證得?APCD是矩形，則可證得：∠EAM=∠EPN，又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠MEA=∠NEP，繼而可以證明△EAM≌△EPN，從而得到EM=EN．

解答 （1）證明：在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：EM=EN．
理由：∵EA=EP，
∴∠EPA=$\frac{180°-∠AEP}{2}$=$\frac{180°-∠ABC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°+$\frac{1}{2}$α，
∵四邊形APCD是平行四邊形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
則AC=PD，
∴?APCD是矩形．
∴∠CPB=90°，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-$\frac{1}{2}$α+α=90°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌龋�得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠EPN}\\{EA=EP}\\{∠MEA=∠NEP}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及矩形的判定方法，在旋轉(zhuǎn)中找到題目中存在的相等的線段以及相等的角是解決本題的關(guān)鍵．