Question

4．如圖，長方形ABCD中，M為線段CD上一點，將四邊形ABCM沿直線AM向上翻折使得點B、C分別落在點B′、C′處，線段B′C′分別交線段AD、CD于點E、F，連接BB′，若∠B′AE+∠BAM=∠AMC，且S_△ABB′=2$\sqrt{2}$，則點B′到直線BC的距離為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作B′H⊥BC于H，過B′作B′Q⊥BA的延長線于Q，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到AB=AB′，AM⊥BB′，進一步得到∠B′AE=45°，設AB′=x，再根據(jù)三角函數(shù)得到B′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，根據(jù)三角形面積公式得到x的值，再由B′H=QB=AQ+AB即可求解．

解答 解：作B′H⊥BC于H，過B′作B′Q⊥BA的延長線于Q，
∵AM垂直平分BB′，
∴AB=AB′，AM⊥BB′，
∴∠BAM=∠B′AM，
∴2∠AB′180°-∠BAB′=180°-2∠BAM，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAM=∠ABB′=∠AB′B=2α，
∴∠B′AM+∠AB′B=90°，
∴3α+α=90°，
∴2α=45°，
∴∠B′AE=45°，
設AB′=x，則B′Q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵S_△ABB′=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•B′Q=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=2$\sqrt{2}$，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴B′H=QB=AQ+AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+x=1+$\sqrt{2}$．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了長方形的性質(zhì)、圖形的翻折問題、三角函數(shù)、三角形面積，解決本題的關鍵是求出AB′的長．