Question

9．如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我們把菱形ABCD的對(duì)稱中心O稱作菱形的中心，菱形ABCD在直線L上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫做一次操作，則經(jīng)過(guò)2013次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{{671（\sqrt{3}+1）}}{3}$π
• B． $\frac{{671（2\sqrt{3}+1）}}{2}$π
• C． $\frac{{671（2\sqrt{3}+1）}}{3}$π
• D． $\frac{{1342\sqrt{3}}}{3}$π

Answer 1

分析 從圖中可以看出，第一次旋轉(zhuǎn)是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，解直角三角形可求出OA的長(zhǎng)，圓心角是60°．第二次還是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，圓心角是60°．第三次就是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，OB為半徑，旋轉(zhuǎn)的圓心角為60度．旋轉(zhuǎn)到此菱形就又回到了原圖．故這樣旋轉(zhuǎn)3n次，就是這樣的n個(gè)弧長(zhǎng)的總長(zhǎng)，依此計(jì)算即可得，進(jìn)而得出經(jīng)過(guò)2013（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)．

解答 解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
BO=DO=1，
AO=$\sqrt{{AD}^{2}-{DO}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
第一次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)=$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π，
∵第一、二次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)和=$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π，
第三次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為：$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{π}{3}$，
∵3n÷3=n，
∴經(jīng)過(guò)3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為：n×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$π+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}+1}{3}$nπ．
∵2013÷3=671，
∴經(jīng)過(guò)2013次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)=$\frac{671（2\sqrt{3}+1）}{3}$π．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出菱形每轉(zhuǎn)動(dòng)3次一循環(huán)進(jìn)而得出經(jīng)過(guò)路徑是解題的關(guān)鍵．