Question

19．已知：關(guān)于x的一元二次方程ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＞x₂）．若y是關(guān)于a的函數(shù)，且y=ax₂•x₁，求這個函數(shù)的表達(dá)式；
（3）將（2）中所得的函數(shù)的圖象在直線a=2的左側(cè)部分沿直線a=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結(jié)合這個新的圖象直接寫出：當(dāng)關(guān)于a的函數(shù)y=2a+b的圖象與此圖象有兩個公共點(diǎn)時，b的取值范圍是-11＜b＜-5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷即可；
（2）先根據(jù)一元二次方程的求根公式得出x₁，x₂，即可得出函數(shù)函數(shù)關(guān)系式；
（3）畫出新函數(shù)的圖形和直線y=2a+b，利用圖形和直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0）是關(guān)于x的一元二次方程，
∴△=[-2（a-1）]²-4a（a-2）=4＞0，
∴方程ax²-2（a-1）x+a-2=0（a＞0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．


（2）解：由求根公式，得x=$\frac{2（a-1）±\sqrt{△}}{2a}$=$\frac{2（a-1）±2}{2a}$．
∴x=1或x=1-$\frac{2}{a}$．   
∵a＞0，x₁＞x₂，
∴x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，
∴y=ax₂•x₁=a×（1-$\frac{2}{a}$）•1=a-2．
即函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=a-2（a＞0），


（3）解：如圖，直線BD剛好和折線CBA只有一個公共點(diǎn)，再向下平移，就和這些CBA有兩個公共點(diǎn)，
繼續(xù)向下平移到直線CE的位置和直線CBA剛好有1個公共點(diǎn)，再向下平移和這些CBA也只有一個公共點(diǎn)，
由（2）知，函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=a-3（a＞0），
當(dāng)a=2時，y=2-3=-1，
∴B（2，-1），
由折疊得，C（4，-3），
當(dāng)函數(shù)y=2a+b的圖象過點(diǎn)B時，
∴-1=2×2+b，
∴b=-5，
當(dāng)函數(shù)y=2a+b的圖象過點(diǎn)C時，
∴-3=2×4+b，
∴b=-11，
∴-11＜b＜-5．
故答案為：-11＜b＜-5．

點(diǎn)評 此題是翻折變換，主要考查了一元二次方程的根的判別式，求根公式，一次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的畫法，解本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=a-3（a＞0），畫出函數(shù)圖象是解本題的難點(diǎn)，注意b的范圍兩個端點(diǎn)都不能取，此題（3）可以通過函數(shù)關(guān)系式求出射線BA的解析式，線段BC的解析式，再利用直線y=2a+b既和射線BA有交點(diǎn)，也和線段BC有交點(diǎn)，即可求出b的范圍．