Question

15．在菱形ABCD中，∠BAD=α，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合），將射線EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)β角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數(shù)量關系．小宇發(fā)現(xiàn)點E的位置，α和β的大小都不確定，于是他從特殊情況開始進行探究．
（1）如圖1，當α=β=90°時，菱形ABCD是正方形．小宇發(fā)現(xiàn)，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分線的性質(zhì)可知EM=EN，進而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性質(zhì)得到EB與EF的數(shù)量關系為EB=EF．
（2）如圖2，當α=60°，β=120°時，
①依題意補全圖形；
②請幫小宇繼續(xù)探究（1）的結(jié)論是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，
請舉出反例說明；
（3）小宇在利用特殊圖形得到了一些結(jié)論之后，在此基礎上對一般的圖形進行了探究，設∠ABE=γ，若旋轉(zhuǎn)后所得的線段EF與EB的數(shù)量關系滿足（1）中的結(jié)論，請直接寫出角α，β，γ滿足的關系：α+β=180°或$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}+γ=180$°

Answer 1

分析 （1）直接得出結(jié)論；
（2）①依題意補全圖形如圖2所示，
②證法1，利用菱形的性質(zhì)得出，∠DAC=∠BAC，再用角平分線的性質(zhì)，得出EM=EN，進而判斷出△EFM≌△EBN即可；
證法2，利用菱形的性質(zhì)直接判斷出△AED≌△AEB，即可得出結(jié)論；
（3）借助（2）的兩種證法，利用全等三角形的性質(zhì)和四邊形和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）EB=EF，
故答案為：EB=EF；
（2）①補全圖形如圖2所示，

②結(jié)論依然成立EB=EF；
證法1：如圖3，

過點E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠CAD=∠CAB．
∵EM⊥AF，EN⊥AB．
∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，
∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，
∴∠F+∠ABE=360°-∠BAD-∠BEF=180°．
∵∠ABE+∠EBN=180°，
∴∠F=∠EBN；
在△EFM與△EBN中，$\left\{\begin{array}{l}∠F=∠EBN\\∠FME=∠N\\ EM=EN\end{array}\right.$
∴△EFM≌△EBN．
∴EF=EB；
證法2：如圖4，連接ED

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．
又∵AE=AE，
∴△ADE≌△ABE．
∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，
又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．
∴∠F+∠ABE=180°．
又∵∠ADE+∠FDE=180°，
∴∠F=∠FDE．
∴EF=ED．
∴EF=EB．
（3）
如圖3，由（2）的證法1知，△FEM≌△BEN，
∴∠FEM=∠BEN，
∴∠BEF=∠MEN，
在四邊形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，
∴∠BAC+∠BEF=180°，
∴α+β=180°
如圖4，

由（2）的證法2知，△ADE≌△ABE，
∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE=$\frac{α}{2}$，∠AEB=∠AED=$\frac{β}{2}$，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，
∴$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}+γ=180$°．
故答案為：α+β=180°或$\frac{α}{2}+\frac{β}{2}+γ=180$°．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關鍵△ADE≌△ABE．