Question

20．如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)F，以C為圓心，CF的長(zhǎng)為半徑作圓，D是⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，當(dāng)AE最大時(shí)，BD的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{3}$+1
• D． 6

Answer 1

分析 點(diǎn)E在以F為圓心的圓上運(yùn)到，要使AE最大，則AE過(guò)F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理證得F是BC的中點(diǎn)，從而得到EF為△BCD的中位線(xiàn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證得CD⊥BC，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)論．

解答 解：點(diǎn)D在⊙C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在以F為圓心的圓上運(yùn)到，要使AE最大，則AE過(guò)F，
連接CD，∵△ABC是等邊三角形，AB是直徑，
∴EF⊥BC，
∴F是BC的中點(diǎn)，
∵E為BD的中點(diǎn)，
∴EF為△BCD的中位線(xiàn)，
∴CD∥EF，
∴CD⊥BC，
BC=4，CD=2，
故BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助圓是解題的關(guān)鍵．