Question

1．如圖，在正方形ABCD中，AB=6，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥BC交BC于點(diǎn)F，BF=2．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線FE方向運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，得到矩形PMBN．以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)向下作等腰Rt△QGH，且斜邊GH∥BC，GH=QF．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)G落在PN線段上；當(dāng)t=2時(shí)，GH=PN；
（2）當(dāng)△QGH和矩形PMBN有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；
（3）在P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻使△MPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC方向運(yùn)動(dòng)，則P每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右（下）運(yùn)動(dòng)，據(jù)此即可求解；
（2）求出G到達(dá)AB，和PQ重合時(shí)t的值，則可以分成不同情況進(jìn)行討論，根據(jù)陰影部分的面積可以化成幾個(gè)直角三角形的面積的和、差即可求解；
（3）根據(jù)（2）中分成的情況，分情況進(jìn)行討論，從而列方程求解．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC方向運(yùn)動(dòng)，
∴P每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，
∵GH=QF=2t，
∴GK=t，
則點(diǎn)G落在PN線段上時(shí)，t+t=2，
解得：t=1；
PN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）=6-t．
則當(dāng)6-t=2t，即t=2時(shí)，GH=PH．
故答案是：1，2；
（2）當(dāng)t=2時(shí)，P移動(dòng)到EF上，此時(shí)P．H和Q重合．
則當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖1，重合部分是等腰直角三角形，則GW=t+t-2=2t-2，
S=$\frac{1}{2}$（2t-2）²，即S=2（t-1）²；
當(dāng)2＜t≤$\frac{8}{3}$時(shí)，如圖2，
S_△QTH=$\frac{1}{2}$×2t•t=t²，
GK=t-2，則S_△GRT=$\frac{1}{2}$（t-2）²；
JH=2t-2-（t-2）=t，則S_△HJY=$\frac{1}{2}$t²；
S_△QSZ=$\frac{1}{2}$（3t-6）2=$\frac{9}{2}$（t-2）2，
PZ=t-2-（3t-6）=4-2t，
則S_△PZY=$\frac{1}{2}$（4-2t）2=2（2-t）²，
則S=t²-$\frac{1}{2}$（t-2）²-$\frac{1}{2}$t²-2（2-t）²=10t-10；
當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t＜3時(shí)，如圖3．

（3）在圖1中，即當(dāng)1＜t≤2時(shí)，若△MPQ是等腰三角形，則有PM=PQ，
PM=t，PQ=$\sqrt{（2-t）^{2}+（6-t-2t）^{2}}$=$\sqrt{10}$（2-t），
則t=$\sqrt{10}$（2-t），解得t=$\frac{10-\sqrt{10}}{3}$；
當(dāng)2＜t＜3，不能構(gòu)成等腰三角形．
總之，t=$\frac{10-\sqrt{10}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的移動(dòng)，注意到點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC方向運(yùn)動(dòng)，則P每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右（下）運(yùn)動(dòng)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．