Question

9．如圖AB是半徑為R的⊙O的直徑，AC是⊙O的切線(xiàn)，其中A為切點(diǎn)．直線(xiàn)OC與⊙O相交于D，E兩點(diǎn)，直線(xiàn)BD與AC相交于點(diǎn)F．
（1）求證：AD•AC=DC•EA
（2）若sin∠CDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AC是⊙O的切線(xiàn)，易得∠CAD=∠AED，又由∠C是公共角，易證得△CAD∽△CEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由AB、DE是半徑為R的⊙O的直徑，證得四邊形AEBD是矩形，令∠CDF=θ，可得∠ABD=∠AED=∠FDC=θ，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)求得AC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AC是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠CAD=∠AED，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CEA，
∴$\frac{AD}{EA}$=$\frac{DC}{AC}$，
∴AD•AC=DC•EA；

（2）解：∵AB、DE是半徑為R的⊙O的直徑，
∴AB=DE，OA=OE=OB=OD，
∴四邊形AEBD是矩形，
∴AE∥BF，
令∠CDF=θ，則∠ABD=∠AED=∠FDC=θ，
∴sin∠CDF=sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=2Rsinθ=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$，AE=BD=2Rcosθ=$\frac{2\sqrt{2}R}{\sqrt{3}}$，
令A(yù)C=m，
由（1）可知：CD=$\frac{AD•AC}{EA}$=$\frac{m}{\sqrt{2}}$，
∵CA²=CD•CE=CD（CD+2R），
即m²=$\frac{m}{\sqrt{2}}$（2R+$\frac{m}{\sqrt{2}}$），
解得：AC=m=2$\sqrt{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意證得四邊形AEBD是矩形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)列方程是解此題的關(guān)鍵．