Question

5．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作直線AE與∠B的內(nèi)角平分線垂直相交于點(diǎn)E，且與∠C的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P，過P作直線與底邊BC平行，且與AB交于Q，與AC交于R，求證：QR=AQ+CR．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=∠CBE，再利用“角邊角”證明△ABE和△NBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAE=∠BNE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠APQ=∠BNE，從而得到∠BAE=∠APQ，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得AQ=PQ，根據(jù)角平分線的定義可得∠ACP=∠BCP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BCP=∠CPR，從而得到∠ACP=∠CPR，根據(jù)等角對(duì)等邊可得CR=PR，然后根據(jù)QR=PQ+PR等量代換即可得證．

解答 證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AN，
∴∠AEB=∠NEB=90°，
在△ABE和△NBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠NEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△NBE（ASA）
∴∠BAE=∠BNE，
∵QR∥BC，
∴∠APQ=∠BNE，
∴∠BAE=∠APQ，
∴AQ=PQ，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，
∵QR∥BC，
∴∠BCP=∠CPR，
∴∠ACP=∠CPR，
∴CR=PR，
由圖可知，QR=PQ+PR，
∴QR=AQ+CR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．