Question

7．某處山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，狂風(fēng)過后，大樹被刮的傾斜后折斷，倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得樹干的傾斜角∠BAC=38°，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠DAC的度數(shù)；
（2）這棵大樹折斷前高約多少米？（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 （1）延長BA交EF于點G，在RT△AGE中，求得∠GAE=67°，然后根據(jù)∠CAE=180°-∠GAE-∠BAC即可求得；
（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H，在△ADH中，根據(jù)余弦函數(shù)求得DH，進而根據(jù)正弦函數(shù)求得AH，在RT△ACH中，求得CH=AH=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)AB=AC+CD即可求得．

解答 解：（1）延長BA交EF于點G，
在RT△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°，
又∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．
（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H，
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，
∴DH=2，sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，
∴AH=2$\sqrt{3}$．
在RT△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴AC=2$\sqrt{6}$，CH=AH=2$\sqrt{3}$．
∴AB=AC+CD=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2≈10（米）．
答：這棵大樹折斷前高約10米．

點評 本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題解決．