Question

6．在△ABC中，∠C=90°，D為AB的中點，點M為射線AC上一點，點N為射線CB上一點，且 DM⊥DN．

（1）如圖1，①求證：$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BC}{AC}$；
②若BC=6，AC=8，CM=5，直接寫出CN的長．
（2）如圖2，過M作MG⊥AB于G，點H在AB的延長線上，且BH=DG，試判斷NH與AB的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①分別過D作DP⊥BC于P，DQ⊥AC于Q，得到四邊形DPCQ是矩形，求得∠QDP=90°，于是得到∠MDQ+∠QDN=∠QDN+∠NDP=90°，得到∠MDQ=∠NDP，證得△DMQ∽△DNP，得到$\frac{DM}{DN}=\frac{DQ}{DP}$，DQ=$\frac{1}{2}$BC，DP=$\frac{1}{2}$AC，于是得到結論；
②把已知數據代入比例式即可求得結果；
（2）DH⊥AB，如圖2，過D作DQ⊥AC于Q．DP⊥BC于P，由（1）證得：$\frac{MD}{DN}=\frac{DQ}{DP}=\frac{BC}{AC}$，由于△AMG∽△ABC，于是得到$\frac{BC}{AC}=\frac{MG}{AG}=\frac{MG}{DH}$，等量代換得到$\frac{MD}{DN}=\frac{MG}{DH}$，推出△MDG∽△DNH，于是得到結論．

解答 （1）證明：①分別過D作DP⊥BC于P，DQ⊥AC于Q，
∴∠MQD=∠DNP=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形DPCQ是矩形，
∴∠QDP=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠MDQ+∠QDN=∠QDN+∠NDP=90°，
∴∠MDQ=∠NDP，
∴△DMQ∽△DNP，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{DQ}{DP}$，DQ=$\frac{1}{2}$BC，DP=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{BC}{AC}$；
②∵AQ=CQ=4，MQ=MC-CQ=5-4=1，
∵DQ=$\frac{1}{2}$BC=3，DP=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵△DMQ∽△DNP，
∴$\frac{MD}{DN}=\frac{DQ}{DP}$，
∴NP=$\frac{4}{3}$，
∵CP=BP=3，
∴CN=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$；

（2）DH⊥AB，
證明：如圖2，過D作DQ⊥AC于Q．DP⊥BC于P，
由（1）證得：$\frac{MD}{DN}=\frac{DQ}{DP}=\frac{BC}{AC}$，
∵MG⊥AB于G，
∴∠ACB=∠AGM，∠A=∠A，
∴△AMG∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{MG}{AG}=\frac{MG}{DH}$，
∴$\frac{MD}{DN}=\frac{MG}{DH}$，
∵∠DMG=∠NDH，
∴△MDG∽△DNH，
∴∠DHN=∠MGD=90°，
即NH⊥AB．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，矩形的判定和性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．