Question

15．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，有DB=EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ACB=90°，若將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90度，P點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，若∠PMA=90°，問(wèn)B、P、M是否共線，為什么？

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADE=∠AED，得出AD=AE，即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD=AE，∠DAE=∠BAC，得出∠BAD=∠CAE，由SAS證明△ABD≌△ACE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可DB=EC；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BPC≌△AMC，∠PCM=90°，得出PC=MC，∠BPC=∠AMC，證出△PCM是等腰直角三角形，得出∠MPC=∠PMC=45°，∠BPC=135°，證出∠BPC+∠MPC=180°即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，AB=AC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴DB=EC；
故答案為：=；
（2）（1）中的結(jié)論還成立；理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=AE，∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}&{\;}\\{∠BAD=∠CAE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴DB=EC；
（3）B、P、M三點(diǎn)共線；理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△BPC≌△AMC，∠PCM=90°，
∴PC=MC，∠BPC=∠AMC，
∴△PCM是等腰直角三角形，
∴∠MPC=∠PMC=45°，
∵∠PMA=90°，
∴∠AMC=90°+45°=135°，
∴∠BPC=135°，
∴∠BPC+∠MPC=135°+45°=180°，
∴B、P、M三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三點(diǎn)共線等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．