Question

16．如圖，A，B兩個(gè)村子在一條河的同側(cè)，A，B兩村到河岸的距離分別為AC=1km，BD=3km，其中CD=3km．現(xiàn)在要在河岸CD上建一個(gè)水廠，向A，B兩個(gè)村莊輸送自來(lái)水，請(qǐng)你在CD上選擇水廠的位置O，使鋪設(shè)的水管總長(zhǎng)度最��？

Answer 1

分析 作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)BE交CD于點(diǎn)O，如圖，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得OA=OE，AC=CE=1，則OA+OB=OE+OB=BE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)點(diǎn)O使OA+OB最小，設(shè)OC=xkm，則OD=（3-x）km，再證明△ECO∽△BDO，利用相似比得$\frac{x}{3-x}$=$\frac{1}{3}$，然后利用比例性質(zhì)求出x即可．

解答 解：作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)BE交CD于點(diǎn)O，如圖，
∵點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，
∴OA=OE，AC=CE=1，
∴OA+OB=OE+OB=BE，
∴此時(shí)點(diǎn)O使OA+OB最小，
設(shè)OC=xkm，則OD=（3-x）km，
∵CE∥BD，
∴△ECO∽△BDO，
∴$\frac{CO}{OD}$=$\frac{CE}{BD}$，即$\frac{x}{3-x}$=$\frac{1}{3}$，解得x=1.5（km）．
答：在CD上選擇在離C處1.5km的地方建水廠，使鋪設(shè)的水管總長(zhǎng)度最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用：用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的長(zhǎng)度．也考查了最短路徑問(wèn)題．