Question

8．如圖所示：AH是△ABC的邊上的高，M為AH上一點(diǎn)，且AM：MH=1：2，過M引DE∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若BC=16cm、AH=9cm．
（1）求△ADE的面積；
（2）AM：MH為何值時(shí)，S_△ADE：S_{平行四邊形BDEC}=1：1？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DE∥BC，AH是△ABC的邊上的高，得到AM⊥DE，由于AM：MH=1：2，推出AM：AH=1：3，通過△ADE∽△ABC，得到$\frac{DE}{BC}=\frac{AM}{AH}$=$\frac{1}{3}$，于是得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，即可得到結(jié)果；
（2）由S_△ADE：S_{平行四邊形BDEC}=1：1，得到S_△ADE：S_△ABC=1：2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AM：AH=$\sqrt{2}$：2，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵DE∥BC，AH是△ABC的邊上的高，
∴AM⊥DE，
∵AM：MH=1：2，
∴AM：AH=1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AM}{AH}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{9}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}×16×9$=72，
∴△ADE的面積=8；

（2）∵S_△ADE：S_{平行四邊形BDEC}=1：1，
∴S_△ADE：S_△ABC=1：2，
由（1）證得△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=（$\frac{AM}{AH}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴AM：AH=$\sqrt{2}$：2，
∴AM：MH=$\sqrt{2}$：（2-$\sqrt{2}$）．
∴當(dāng)AM：MH=$\sqrt{2}$：（2-$\sqrt{2}$）時(shí)，S_△ADE：S_{四邊形BDEC}=1：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．