Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，求∠BAC的度數(shù)；
（2）若AB=4，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D始終在一個(gè)圓上，請(qǐng)你確定這個(gè)圓的圓心以及這個(gè)圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠C=90°，由$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，可得∠B=2∠A，繼而求得答案；
（2）首先連接OD，由點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)，易得OD是△ABC的中位線，繼而可得∠ADO=90°，即可知點(diǎn)D在以O(shè)A為直徑的圓上，則可求得答案．

解答 解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，
∴∠B=2∠A，
∴3∠A=90°，
解得：∠BAC=30°；

（2）連接OD，
∵OA=OB，點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)，
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴點(diǎn)D在以O(shè)A為直徑的圓上，
∵AB=4，
∴OA=2，
∴圓心是：OA的中點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑為：1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理以及三角形中位線的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線，確定點(diǎn)D在以O(shè)A為直徑的圓上是解此題的關(guān)鍵．