Question

11．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2CE，將矩形沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′、D′，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)B、C′、D′恰好在同一直線上時(shí)，AF的長(zhǎng)為4$+\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE，在Rt△BC′E中，由于$\frac{BE}{C′E}$=2，得到∠C′BE=30°，①當(dāng)點(diǎn)C′在BC的上方時(shí)，如圖1，過E作EG⊥AD于G，延長(zhǎng)EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)即可得到AF═4+$\sqrt{3}$，②當(dāng)點(diǎn)C′在BC的下方時(shí)，如圖2，過F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四邊形ABGF是矩形根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得到AF=4-$\sqrt{3}$．

解答 解：由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′=∠C=90°，C′E=CE，
∵點(diǎn)B、C′、D′在同一直線上，
∴∠BC′E=90°，
∵BC=6，BE=2CE，
∴BE=4，C′E=CE=2，
在Rt△BC′E中，$\frac{BE}{C′E}$=2，
∴∠C′BE=30°，
①當(dāng)點(diǎn)C′在BC的上方時(shí)，
如圖1，過E作EG⊥AD于G，延長(zhǎng)EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形，
∴EG=AB=3，AG=BE=4，
∵∠C′BE=30°，∠BC′E=90°，
∴∠BEC′=60°，
由折疊的性質(zhì)得，∠C′EF=′CEF，
∴∠C′EF=∠CEF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠HFE=∠CEF=60°，
∴△EFH是等邊三角形，
∴在Rt△EFG中，EG=3，
∴GF=$\sqrt{3}$，
∴AF═4+$\sqrt{3}$，
②當(dāng)點(diǎn)C′在BC的下方時(shí)，如圖2，過F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得四邊形ABGF是矩形，△EFH是等邊三角形，
∴AF=BG，F(xiàn)G=AB=3，∠FEH=60°，
在Rt△EFG中，GE=$\sqrt{3}$，
∵BE=4，
∴BG=4-$\sqrt{3}$，
∴AF=4-$\sqrt{3}$，
綜上所述，AF的長(zhǎng)是4$+\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$．
故答案為：4$+\sqrt{3}$或4-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．