Question

12．如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點(diǎn)F．
（1）求證：AD=OC；
（2）求證：OE是CD的垂直平分線；
（3）若∠AOB=60°，請你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和HL證明Rt△ODE≌Rt△OCE進(jìn)行解答即可；
（2）△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，利用垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，即可得出OE是CD的垂直平分線；
（2）先根據(jù)E是∠AOB的平分線，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性質(zhì)可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出結(jié)論

解答 證明：（1）∵點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在Rt△ODE與Rt△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC；
（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，ED=EC，
∴點(diǎn)O、點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上，
∴OE是CD的垂直平分線；
（3）OE=4EF．
∵OE是∠AOB的平分線，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．

點(diǎn)評 本題考查的是角平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．