Question

9．如圖，已知在等邊△ABC中，點D、E分別在BC，AC上，BD=CE，AD與BE交于點F
（1）求證：△BDF∽△BEC；
（2）如果AB=12，BD=4，求S_△BDF：S_△BEC．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC是等邊三角形，得到AB=BC，∠C=∠ABD=60°，推出△ADB≌△BEC，得到∠BAF=∠FBD，根據外角的性質得到∠DFB=60°，于是得到∠FBD=∠C，由于∠FBD=∠FBD，即可得到結論；
（2）過E作EQ⊥BC于Q，則∠EQC=∠EQB=90°，根據∠C=60°，EC=BD=4，得到CQ=2，根據勾股定理得到EQ=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，求得BQ=12-2=10，在Rt△BQE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{Q}^{2}+E{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）證明：∵三角形ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠C=∠ABD=60°，
在△ADB和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△BEC，
∴∠BAF=∠FBD，
∴∠DFB=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠FBD=∠ABC=60°，
∴∠FBD=∠C，
∵∠FBD=∠FBD，
∴△BDF∽△BEC；

（2）解：∵△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，
過E作EQ⊥BC于Q，
則∠EQC=∠EQB=90°，
∵∠C=60°，EC=BD=4，
∴CQ=2，EQ=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵BC=AB=12，
∴BQ=12-2=10，
在Rt△BQE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{Q}^{2}+E{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
由（1）證得△BDF∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△BDF}}{{S}_{△BEC}}$=（$\frac{BD}{BE}$）²=（$\frac{4}{4\sqrt{7}}$）²=$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．