Question

5．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）與正比例函數(shù)y=ax相交于A（1，k），B（-k，-1）兩點．
（1）求反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式；
（2）將正比例函數(shù)y=ax的圖象平移，得到一次函數(shù)y=ax+b的圖象，與函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），且|x₁-x₂|•|y₁-y₂|=5，求b的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)點A與點B關于原點對稱，可以求出k的值，將點A分別代入反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式，即可得解．
（2）分別把點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）代入一次函數(shù)y=x+b，再把兩式相減，根據(jù)|x₁-x₂|•|y₁-y₂|=5得出|x₁-x₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，然后通過聯(lián)立方程求得x₁、x₂的值，代入即可求得b的值．

解答 解：（1）據(jù)題意得：點A（1，k）與點B（-k，-1）關于原點對稱，
∴k=1，
∴A（1，1），B（-1，-1），
∴反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式分別為y=$\frac{1}{x}$，y=x；

（2）∵一次函數(shù)y=x+b的圖象過點（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}={x}_{1}+b}\\{{y}_{2}={x}_{2}+b}\end{array}\right.$，
②-①得，y₂-y₁=x₂-x₁，
∵|x₁-x₂|•|y₁-y₂|=5，
∴|x₁-x₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$得x²+bx-1=0，
解得，x₁=$\frac{-b+\sqrt{^{2}+4}}{2}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}+4}}{2}$，
∴|x₁-x₂|=|$\frac{-b+\sqrt{^{2}+4}}{2}$-$\frac{-b-\sqrt{^{2}+4}}{2}$|=|$\sqrt{^{2}+4}$|=$\sqrt{5}$，
解得b=±1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)關于原點對稱這一知識點，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，利用對稱性求出點的坐標是解題的關鍵．