Question

4．如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD紙片，AB=8，BC=4，若將紙片沿AC折疊，點(diǎn)D落在D′，則重疊部分的面積為10．

Answer 1

分析 過點(diǎn)F作FE⊥AC，垂足為E，由勾股定理得：AC=4$\sqrt{5}$，然后證明△ACF為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可求得AE的長(zhǎng)，接下來證明△AEF∽△ABC，從而可求得EF的長(zhǎng)為$\sqrt{5}$，最后根據(jù)三角形的面積公式求得△ACF的面積即可．

解答 解：如圖所示：過點(diǎn)F作FE⊥AC，垂足為E．

由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB．
由翻折的性質(zhì)可知：∠DCA=∠D′CA．
∴∠FAC=∠FCA．
∴AF=CF．
又∵FE⊥AC．
∴AE=CE=2$\sqrt{5}$．
∵∠EAF=∠BAC，∠FEA=∠CBA=90°，
∴△AEF∽△ABC．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{CB}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{8}=\frac{EF}{4}$．
∴EF=$\sqrt{5}$．
∴${S}_{△ACF}=\frac{1}{2}AC•EF=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\sqrt{5}$=10．
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、翻折變換，證得△ACF為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可求得AE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．