Question

11．兩組鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列判斷正確的有（　�。�
①AC⊥BD；
②AC、BD互相平分；
③AC平分∠BCD；
④∠ABC=∠ADC=90°；
⑤箏形ABCD的面積為$\frac{1}{2}$AC•BD．

• A． ①③⑤
• B． ①③④
• C． ③④⑤
• D． ①④⑤

Answer 1

分析 ①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AC是BD的垂直平分線，得AC⊥BD；
②由①可得OB=OD，但AD≠CD，所以O(shè)A≠OC，可知AC、BD互相不平分．
③根據(jù)題意AB=AD，BC=DC，AC與BD相交于點(diǎn)O可以證明△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD、∠BCD．
④由全等可知：∠ABC=∠ADC，但角度的大小不確定；
⑤代入三角形面積公式，求和可得結(jié)論．

解答 解：①：∵AB=AD，
∴點(diǎn)A在BD的垂直平分線上，
∵BC=DC，
∴點(diǎn)C在BD的垂直平分線上，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，
故①正確；

③∵在△ABC與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=DC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．
故③正確；

②∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD與△BCD均為等腰三角形，
∴AC、BD互相垂直，但不平分．
故②錯誤；

④由全等可知：∠ABC=∠ADC，但角度的大小不確定；如圖1和圖2；
故④錯誤；

⑤∵AC、BD互相垂直，
∴箏形ABCD的面積為：$\frac{1}{2}$AC•BO+$\frac{1}{2}$AC•OD=$\frac{1}{2}$AC•BD．
故⑤正確；
綜上所述，正確的說法是①③⑤．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)可得相應(yīng)的結(jié)論．