Question

2．如圖，正方形ABCD中內接正三角形AEF．求證：S_△EFC=S_△ABE+S_△ADF．

Answer 1

分析 首先連接AC，交EF于點G，易證得Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；繼而證得AC垂直平分EF，然后設EC=x，再表示出各三角形的面積，即可證得結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；
∴BE=DF，
連接AC，交EF于點G，
∵BC=CD，BE=DF
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．
設EC=x，由勾股定理，得EF=$\sqrt{E{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
由直角三角形斜邊上中線的性質可知：CG=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
在Rt△AEG中，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=AG+CG=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x，
∴BE=BC-CE=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x-x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$EC•CF=$\frac{1}{2}$x²，S_△ABE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$x=$\frac{1}{4}$x²，
∴S_△ADF=S_△ABE=$\frac{1}{4}$x²，
∴S_△ABE+S_△ADF=S_△CEF．

點評 此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質以及三角函數(shù)等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．