Question

20．如圖，BC是⊙O的直徑，弦AE⊥BC，垂足為D點，$\widehat{AB}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BF}$，AE與BF相交于G點．
求證：（1）$\widehat{BE}$=$\widehat{EF}$；
（2）BG=GE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AB}$=$\widehat{BE}$，等量代換即可得到結論；
（2）連接BE，等量代換得到$\widehat{AB}$=$\widehat{EF}$，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到∠AEB=∠EBF，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結論．

解答 證明：（1）∵BC是⊙O的直徑，弦AE⊥BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BE}$，
∵$\widehat{AB}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BF}$，
∴$\widehat{BE}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{BF}$，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{EF}$；
（2）連接BE，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BE}$，$\widehat{BE}$=$\widehat{EF}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{EF}$，
∴∠AEB=∠EBF，
∴BG=GE．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，正確的作出輔助線是解題的關鍵．