Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+4與y軸、x軸分別交于點A、B，若點C是x軸負半軸上一點，當AB=BC時，點P在線段AB上，點Q是x軸負半軸上一點（在點C的左側），且AP=CQ，PQ與線段AC交于點E
（1）試判斷PE與QE的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）當點P為線段AB的中點（即P的橫坐標為1.5時）直線y=-$\frac{4}{3}$x+4上是否存在一點M，△MPE的面積和△CQE的面積相等？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作PF∥BC交AC于F，則∠PFE=∠QCE，∠AFP=∠ACB，由AB=BC，得出∠BAC=∠ACB，證出∠AFP=∠BAC，PF=CQ，證明△PEF≌△QEC，即可得出結論；
（2）過C作PQ的平行線，交AB于點M，先求出點A、B的坐標，由勾股定理求出AB，得出BC、OC，得出C的坐標，再求出點Q的坐標，用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式，再求出直線CM的解析式，由直線CM和直線AB的解析式組成方程組，解方程組即可得出點M的坐標；再得出M的另一個坐標即可．

解答 解：（1）PE=QE；理由如下：
作PF∥BC交AC于F，如圖1所示：
則∠PFE=∠QCE，∠AFP=∠ACB，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠AFP=∠BAC，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PEF和△QEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠QCE}&{\;}\\{∠PEF=∠QEC}&{\;}\\{PF=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△QEC（AAS），
∴PE=QE；
（2）存在；理由如下：
分兩種情況：
①當點M在中點P的下方時，過C作PQ的平行線，交AB于點M，如圖2所示：
∵直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與y軸、x軸分別交于點A、B，
當y=0時，x=3；當x=0時，y=4；
∴B（3，0），A（0，4），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴BC=AB=5，
∴OC=BC-OB=2，
∴C（-2，0），
∵點P為線段AB的中點，
∴AP=CQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，P（$\frac{3}{2}$，2），
∴OQ=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
∴Q（-$\frac{9}{2}$，0），
設直線PQ的解析式為：y=kx+b，
把點P（$\frac{3}{2}$，2），Q（-$\frac{9}{2}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=2}&{\;}\\{-\frac{9}{2}k+b=0}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{3}{2}$，
∴直線PQ的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{3}{2}$，
∵CM∥PQ，
∴設直線CM的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+c，
把點（-2，0）代入得：-$\frac{2}{3}$+c=0，
∴c=$\frac{2}{3}$，
∴直線CM的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴點M的坐標為：（2，$\frac{4}{3}$）；
②當點M在中點P的上方時，M的坐標為（1，$\frac{8}{3}$）；
∴點M的坐標為（2，$\frac{4}{3}$）或（1，$\frac{8}{3}$）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、坐標與圖形性質、等腰三角形的性質等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）中，需要通過作輔助線用待定系數(shù)法兩次求一次函數(shù)的解析式才能得出結果．