Question

17．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{3}$（x+h）²+k的對(duì)稱軸為x=-1，與y軸交于點(diǎn)D（0，$\frac{13}{3}$）．
（1）求h和k的值；
（2）點(diǎn)P為第二象限對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過P作x軸垂線，垂足為B，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，在對(duì)稱軸上取點(diǎn)C，使∠BPC＞90°，連接AC，若∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BPC．求證：PB=PC；
（3）在（2）條件下，過點(diǎn)A作AE∥PC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，當(dāng)CE：AE=13：5時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意直接求出h的值，進(jìn)而將D點(diǎn)代入函數(shù)解析式求出k的值即可；
（2）連接BC，過P作PH⊥BC于H，進(jìn)而利用∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BPC，得出∠CPH=∠BPH，進(jìn)而求出△PBH≌△PCH（ASA），得出答案即可；
（3）設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PQ⊥CE于Q，再證明△PQC≌△ANE（AAS），進(jìn)而表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 （1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸為：x=-h=-1，
∴h=1，
∴y=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+k過D（0，$\frac{13}{3}$），
∴$\frac{13}{3}$=-$\frac{1}{3}$（0+1）²+k，
解得：k=$\frac{14}{3}$；

（2）證明：如圖1，連接BC，過P作PH⊥BC于H，
∵B、A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴CB=CA，∠CBA=∠CAB，
∵PB⊥BA，
∴∠CBA+∠PBC=90°，
∴∠CAB+∠PBC=90°，又∵∠PB+∠BPH=90°，
∴∠CAB=∠BPH，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BPC，
∴∠BPH=$\frac{1}{2}$∠BPC，
∴∠CPH=∠BPH，
在△PBH和△PCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPH=∠CPH}\\{PH=PH}\\{∠BHP=∠PHC}\end{array}\right.$，
∴△PBH≌△PCH（ASA），
∴PB=PC；

（3）解：如圖2，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PQ⊥CE于Q，
∵AE∥CP，
∴∠PCQ=∠AEN，PQ=BN=AN，
在△PQC和△ANE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCQ=∠AEN}\\{∠CQP=∠ENA}\\{PQ=AN}\end{array}\right.$
∴△PQC≌△ANE（AAS），
∴EN=CQ，設(shè)CE=13m，則AE=CP=5m，
∴PB=QN=5m，
∴CQ=EN=$\frac{1}{2}$（13m-5m）=4m，
∴PQ=3m，∴P（-3m-1，5m），
代入y=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+$\frac{14}{3}$，
5m=-$\frac{1}{3}$（-3m-1+1）²+$\frac{14}{3}$，
解得：m₁=$\frac{2}{3}$，m₂=-$\frac{7}{3}$（不合題意舍去），
∴P（-3，$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．