Question

9．已知，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點O作OD⊥BC于點D，DO交⊙O于點E，連接OC，AE．
（1）如圖1，求證：∠COE=2∠BAE；
（2）如圖2，連接CE，若∠BAC=120°，求證：BC=CE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點B作BF⊥AE于點F，連接FD，若FD=2，AC=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理，可得$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，可得∠BAE=∠CAE，根據(jù)圓周角定理，可得∠COE=2∠CAE；
（2）根據(jù)等弧所對的圓周角相等，可得∠BAE=∠CAE=∠BCE，∠CBE=∠CAE，根據(jù)等邊三角形的判定，可得答案；
（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AB=AG，F(xiàn)B=FG，根據(jù)垂徑定理，可得BD與CD的關(guān)系，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得CG與FD的關(guān)系，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，可得∠HAC的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得CH、AH的長度，根據(jù)勾股定理，可得BC的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得答案．

解答 （1）證明：∵OD⊥BC，$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠COE=2∠CAE，
∴∠COE=2∠BAE；
（2）證明：連接BE．
，
∵∠BAE=∠CAE，∠BAC=120°，
∴∠BAE=∠CAE=60°．
∵∠BCE=∠BAE=60°，∠CBE=∠CAE=60°，
∴∠BEC=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCE=∠CBE=∠BEC=60°，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BC=CE；
（3）解：延長BF交AC于G，作CH⊥BA的延長線于H．
，
∵BF⊥AE，
∴∠BFA=∠GFA=90°，
在△BAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠GFA}\\{AF=AF}\\{∠BFA=∠GFA}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△GAF  （ASA），
∴AB=AG，F(xiàn)B=FG．
∵OD⊥BC，
∴BD=CD．
∵FB=FG，BD=CD，
∴CG=2FD=4，
∴AG=AB=6-4=2．
∵∠HAC=180°°-120°=60°
∴CH=AC•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，AH=AC•cos60°=6×$\frac{1}{2}$=3，
∴BH=2+3=5，
在Rt△CBH中，BC=$\sqrt{C{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{13}$=$\sqrt{13}$，
∵∠ECB=∠EAB=60°，
∴DE=CD•tan60°=$\sqrt{13}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{39}$．

點評 本題考查了圓的綜合題，（1）利用了垂徑定理，弧與圓周角的關(guān)系，圓周角定理；（2）利用了弧與圓周角的關(guān)系，等邊三角形的判定；（3）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，利用知識點多，題目有一定難度．