Question

12．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過(guò)點(diǎn)B且分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)D、E、F是AC上的點(diǎn)，判斷下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 若EF⊥AC，則EF是⊙O的切線
• B． 若EF是⊙O的切線，則EF⊥AC
• C． 若BE=EC，則AC是⊙O的切線
• D． 若BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EC，則AC是⊙O的切線

Answer 1

分析 A、如圖1，連接OE，根據(jù)同圓的半徑相等得到OB=OE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A選項(xiàng)正確；B、由于EF是⊙O的切線，得到OE⊥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到B選項(xiàng)正確；C、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得到AO=OB，如圖2，過(guò)O作OH⊥AC于H，根據(jù)三角函數(shù)得到OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO≠OB，于是得到C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、如圖2根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等量代換即可得到D選項(xiàng)正確．

解答 解：A、如圖1，連接OE，
則OB=OE，
∵∠B=60°
∴∠BOE=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOE=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∴EF是⊙O的切線
∴A選項(xiàng)正確；
B、∵EF是⊙O的切線，
∴OE⊥EF，
由A知：OE∥AC，
∴AC⊥EF，
∴B選項(xiàng)正確；
C、∵∠B=60°，OB=OE，
∴BE=OB，
∵BE=CE，
∴BC=AB=2BO，
∴AO=OB，
如圖2，過(guò)O作OH⊥AC于H，
∵∠BAC=60°，
∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO≠OB，
∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、如圖2，∵BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EC，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BE，
∵AB=BC，BO=BE，
∴AO=CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OB，
∴OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO=OB，
∴AC是⊙O的切線，
∴D選項(xiàng)正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．