Question

8．如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點(diǎn)B（3，0），交y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)F作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到什么位置時(shí)，線段EF的長度最大？求線段EF長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，得到關(guān)于b、c的方程組，然后解得b、c的值即可；
（2）先求得直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x，然后求得可求得點(diǎn)E與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，從而得到EF的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法求得EF的最值以及點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）把B（3，0）C（0，3）代入y=-x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+3）．
∴EF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），EF的最大值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用配方法求得EF的最大值是解題的關(guān)鍵．