Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線．
（1）如圖1，若AD=BD，求∠A的度數(shù)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，作DE⊥AB于E，連接EC．求證：△EBC是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線和等腰三角形的性質(zhì)求得∠A=∠DBA=∠DBC，由∠A+∠DBA+∠DBC=90°，即可求得∠A=30°；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出CE=BE，由∠EBC=60°，即可證得△EBC是等邊三角形．

解答 （1）解：∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∵∠DBA=∠DBC，
∴∠A=∠DBA=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°，
∴∠A=30°；
（2）證明：∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=BE，
∵∠A=30°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等邊三角形．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．