Question

16．如圖，已知A（m，3）是一次函數(shù)y=kx+b與反函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的交點(diǎn)．
（1）求m的值；
（2）若一次函數(shù)分別與x、y軸交于E、F兩點(diǎn)，A為EF的中點(diǎn)，試求該一次函數(shù)的解析式；
（3）在y=$\frac{6}{x}$的圖象上另取一點(diǎn)B，作BK⊥x軸于K，在（2）的條件下，在y軸上取一點(diǎn)C，使得FO=4CO．問：在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC和△PBK的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出m的值，
（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)即可求出k，b的值，進(jìn)而得出直線EF的解析式；
（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出三角形PAC的面積，再求出三角形PBK的面積建立方程即可得出P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（m，3）在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖形上，
∴3m=6，
∴m=2，

（2）由（1）知，A（2，3），
∵點(diǎn)A在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
∴2k+b=3，
∴b=3-2k，
∴一次函數(shù)的解析式為y=kx+3-2k，
令y=0，
∴x=$\frac{2k-3}{k}$，
∴E（$\frac{2k-3}{k}$，0），F(xiàn)（0，3-2k），
∵A（2，3）是EF的中點(diǎn)，
∴3-2k=6，
∴k=-$\frac{3}{2}$，
∴b=6，
∴一次函數(shù)額解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6；

（3）由（2）知，E（4，0），F(xiàn)（0，6），
∴OF=6，
∵FO=4OC=6，
∴OC=$\frac{3}{2}$，
∴C（0，$\frac{3}{2}$），
設(shè)P（0，t），
∴PC=|t-$\frac{3}{2}$|，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$PC•x_A=$\frac{1}{2}$×|t-$\frac{3}{2}$|×2=|t-$\frac{3}{2}$|，
設(shè)B（n，$\frac{6}{n}$），
∴OK=n，BK=$\frac{6}{n}$，
∴S_△PBK=$\frac{1}{2}$BK•OK=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{n}$×n=3，
∵△PAC和△PBK的面積相等，
∴|t-$\frac{3}{2}$|=3，
∴t=$\frac{9}{2}$或t=-$\frac{3}{2}$，
∴P（0，$\frac{9}{2}$）或（0，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積公式，解（2）的關(guān)鍵是得出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是求出三角形PBK的面積是3，是一道中等難度的題目．