Question

5．在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，AC=6，四邊形ABCD的面積為24．
（1）如圖1，求BD的長；
（2）如圖2，若AD=5，AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，推出S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AO$+\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$BD（AO+OC）=$\frac{1}{2}$BD×6=24，由此即可解決問題；
（2）設(shè)OA=x，OD=y，則OB=8-y，OC=6-x，想辦法構(gòu)建方程組即可解決問題；

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•AO$+\frac{1}{2}$BD•OC=$\frac{1}{2}$BD（AO+OC）=$\frac{1}{2}$BD×6=24，
∴BD=8；
（2）設(shè)OA=x，OD=y，則OB=8-y，OC=6-x，
∵AD∥BC，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{x}{6-x}$=$\frac{y}{8-y}$，
∴4x=3y，
∵x²+y²=25，x＞0，y＞0，
∴x=3，y=4，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評 本題考查菱形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理、二元一次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程組解決問題，屬于中考常考題型，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．