Question

8．已知：如圖1，菱形ABCD的邊長為4cm，P、Q分別是AB、BC兩邊上的動點，P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，均以1cm/s的速度沿AB、BC向點B和點C勻速運動，當點P到達點B時停止運動，點Q也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t（s），點P到AD的距離與點Q到CD的距離差的絕對值為y（cm），且y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．

（1）∠A的度數(shù)為60°，M點的坐標所表示的實際意義是點P到AD的距離和點Q到CD的距離相等；
（2）求證：PD=QD；
（3）當y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先由圖2判斷出菱形ABCD的高為2$\sqrt{3}$，然后利用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出△BCD是等邊三角形，進而判斷出△BDQ≌△ADP，即可得出結(jié)論；
（3）構(gòu)造出直角三角形，利用三角形函數(shù)得出PE和PF，進而得出y=$\sqrt{3}$|t-2|，再將y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，

過B作BE⊥CD于E，
由圖2知，
運動時間t=0時，點P到AD的距離為0，點Q到CD的距離是菱形的高為2$\sqrt{3}$，
即：BE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCE中，BC=4，BE=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠C=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=∠C=60°，
由圖2知，點M在x軸上，
∴M點的坐標所表示的意義是點P到AD的距離和點Q到CD的距離相等；
故答案為60°，點P到AD的距離和點Q到CD的距離相等；

（2）如圖3，

連接BD，由（1）知，∠C=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴DB=BC=AD，∠DBQ=60°=∠A，
由運動知，AP=BQ，
在△BDQ和△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠DBQ=∠A}\\{BQ=AP}\end{array}\right.$，
∴△BDQ≌△ADP，
∴QD=PD；

（3）如圖4，

過點P作PE⊥AD，過點Q作QF⊥CD，
由運動知，AP=AQ=t，（0≤t≤4）
∴CQ=4-t，
在Rt△APE中，∠A=60°，AP=t，
∴PE=AP•sin∠A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
同理：FQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t），
∴y=|$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-t）|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|2t-4|=$\sqrt{3}$|t-2|，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2|t-2|=1，
∴t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{5}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的意義，全等三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是從圖2中得出菱形的高，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出全等三角形，解（3）的關(guān)鍵是建立y與t的函數(shù)關(guān)系式，是一道中等難度的中考�？碱}．