Question

4．如圖，正△ABC外切于⊙O，正方形DEFG內(nèi)接于⊙O，若正△ABC的邊長(zhǎng)為6，求正方形的DEFG的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 設(shè)⊙O與BC相切于點(diǎn)M，連接OM、OB、OD、OE，則∠OMB=90°，∠OBM=30°，由正三角形的性質(zhì)得出BM=$\frac{1}{2}$BC=3，求出OM=BM•tan30°=$\sqrt{3}$，得出OD=OE=$\sqrt{3}$，由正方形的性質(zhì)得出△DOE是等腰直角三角形，得出DE=$\sqrt{2}$OD，即可得出結(jié)果．

解答 解：設(shè)⊙O與BC相切于點(diǎn)M，連接OM、OB、OD、OE，如圖所示：
則∠OMB=90°，∠OBM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴OM=BM•tan30°=$\sqrt{3}$，
∴OD=OE=$\sqrt{3}$，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
即正方形的DEFG的邊長(zhǎng)為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、正多邊形與圓的關(guān)系；熟練掌握正三角形和正方形的性質(zhì)，由題意求出正三角形內(nèi)切圓的半徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．