Question

13．如圖，拋物線y=ax²+bx+c過原點，且與直線y=mx+n交于A（8，0）、B（4，-3）兩點，直線AB與y軸相交于點P，點M為線段OA上一動點，∠PMN為直角，邊MN與AP相交于點N，設OM=t．
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）當t為何值時，△MAN為等腰三角形；
（3）當t為何值時，以線段PN為直徑的圓與x軸相切？并求此時圓的直徑PN的長．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）若△MAN為等腰三角形，則只能是∠NMA=∠NAM，證明三角形△OPM∽△OAP，進而求出OM的長，即t的值；
（3）存在以線段PN為直徑的圓與x軸相切，設以PN為直徑作圓Q，若圓Q與x軸相切，則切點為M，連接MQ，根據(jù)△AMQ∽△AOP求出QM的長，再結合勾股定理求出AM的長，進而求出OM的值，即t的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過原點且經(jīng)過A（8，0）、B（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b+c=0}\\{16a+4b+c=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{16}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{3}{16}$x²-$\frac{3}{2}$x，
∵直線y=mx+n交于A（8，0）、B（4，-3）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=0}\\{4m+n=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=$\frac{3}{4}$x-6；
（2）若△MAN為等腰三角形，則只能是∠NMA=∠NAM，
∵∠PMN=90°，
∴∠AMN+∠PMO=90°，
∵∠OPM+∠OMP=90°，
∴∠OPM=∠AMN，
∵∠NMA=∠NAM，
∴∠OPM=∠MAN，
∴△OPM∽△OAP，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OM}{OP}$，
∴OM=$\frac{36}{8}$=$\frac{9}{2}$，
即t=$\frac{9}{2}$時，△MAN為等腰三角形；
（3）存在以線段PN為直徑的圓與x軸相切，
設以PN為直徑作圓Q，
若圓Q與x軸相切，則切點為M，連接MQ，
∵△AMQ∽△AOP，
∴$\frac{QM}{PO}$=$\frac{AQ}{AP}$，
∴$\frac{QM}{PO}$=$\frac{AP-QM}{AP}$，
∴$\frac{QM}{6}$=$\frac{10-QM}{10}$，
∴QM=$\frac{15}{4}$，
∴AQ=10-$\frac{15}{4}$=$\frac{25}{4}$，
AM=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-（\frac{15}{4}）^{2}}$=5，
∴OM=3，
即t=3時，線段PN為直徑的圓與x軸相切
此時圓的直徑PN=2QM=$\frac{15}{2}$．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質以及圓的相關知識，解答本題的關鍵是多次利用相似三角形的性質求線段的長，此題有一定的難度．