Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸的正半軸上，OA=OB=4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A的拋物線y=ax²+bx交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)P在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，C均不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P與x軸垂直的直線交此拋物線于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作矩形PQMN，且PN=1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)矩形PQMN有兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)落在此拋物線上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)矩形PQMN的周長(zhǎng)為d，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；并直接寫出當(dāng)d隨著m的增大而增大時(shí)，m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得系數(shù)a、b的值即可；
（2）由一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得P、Q的坐標(biāo)，依據(jù)矩形的性質(zhì)從而得到點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，分兩種情況進(jìn)行解答：點(diǎn)Q、N同時(shí)在拋物線線上和點(diǎn)Q、M同時(shí)在拋物線線上；
（3）對(duì)m的取值范圍需要分類討論：0≤m＜1，1＜m＜4兩種情況來(lái)解答．

解答 解：（1）由題可得A（4，0），C（1，3），且A、C在拋物上y=ax²+bx，則
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=-x²+4x．

（2）由題可得P（m，-m+4），Q（m，-m²+4m），M（m+1，-m²+4m），N（m+1，-m+4）．
①當(dāng)點(diǎn)Q、N同時(shí)在拋物線上時(shí)．-（m+1）²+4（m+1）=-m+4，
解得m=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∴P₁（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），P₂（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）；
②當(dāng)點(diǎn)Q、M同時(shí)在拋物線上時(shí)，QM=1，P₃（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
（3）①當(dāng)0≤m＜1 時(shí)，d=2（-m+4+m²-4m）+2=2m²-10m+10．
∵a=2＞0，
∴當(dāng)m＞2.5時(shí)，才能存在d隨著m的增大而增大，而此種情況與0≤m＜1不符合，
∴不存在．
②當(dāng)1＜m＜4時(shí)，d=2（m-4-m²+4m）+2=-2m²+10m-6．
∵a=-2＜0，
∴當(dāng)1＜m≤2.5時(shí)，d隨著m的增大而增大．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．