Question

4．已知二次函數(shù)y=-x²-x+2的圖象與x軸分別交于A、B兩點（如圖所示），與y軸交于點C，點P是其對稱軸上一動點，當(dāng)PB+PC取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 先求出AB兩點的坐標(biāo)，然后求出直線AC的解析式，最后求出直線AC與對稱軸的交點坐標(biāo)即為所求．

解答 解：當(dāng)y=0時，0=x²-x-2，
解得：x₁=-2，x₂=1
∴A（-2，0），B（1，0），
當(dāng)x=0時，y=2，
∴C（0，2）
∴對稱軸為：x=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)點P是其對稱軸上一動點，PB+PC取得最小值時，根據(jù)兩點之間線段最短，直線AC與對稱軸的交點即為所求，
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，根據(jù)題意得
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=x+2，
它與x=-$\frac{1}{2}$交于點（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
∴P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了點的坐標(biāo)和待定系數(shù)法以及線段和最小值問題，建立模型解決最小值問題是解決問題的關(guān)鍵．