Question

16．已知矩形ABCD的一條邊AD=8，E是BC邊上的一點，將矩形ABCD沿折痕AE折疊，使得頂點B落在CD邊上的點P處，PC=4（如圖1）．
（1）求AB的長；
（2）擦去折痕AE，連結(jié)PB，設(shè)M是線段PA的一個動點（點M與點P、A不重合）．N是AB沿長線上的一個動點，并且滿足PM=BN．過點M作MH⊥PB，垂足為H，連結(jié)MN交PB于點F（如圖2）．
①若M是PA的中點，求MH的長；
②試問當(dāng)點M、N在移動過程中，線段FH的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段FH的長度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB=x，根據(jù)折疊可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD²+DP²=AP²，即8²+（x-4）²=x²，即可解答；
（2）①過點A作AG⊥PB于點G，根據(jù)勾股定理求出PB的長，由AP=AB，所以PG=BG=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$，在Rt△AGP中，AG=$\sqrt{A{P}^{2}-P{G}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}=4\sqrt{5}$，
由AG⊥PB，MH⊥PB，所以MH∥AG，根據(jù)M是PA的中點，所以H是PG的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MH=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$．
②作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)MH⊥PQ，得出HQ=$\frac{1}{2}$PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=$\frac{1}{2}$QB，再求出EF=$\frac{1}{2}$PB，最后代入HF=$\frac{1}{2}$PB即可得出線段EF的長度不變．

解答 解：（1）設(shè)AB=x，則AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，
在Rt△ADP中，AD²+DP²=AP²，
即8²+（x-4）²=x²，
解得：x=10，
即AB=10．
（2）①如圖2，過點A作AG⊥PB于點G，

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{B{C}^{2}+P{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∵AP=AB，
∴PG=BG=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AGP中，AG=$\sqrt{A{P}^{2}-P{G}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}=4\sqrt{5}$，
∵AG⊥PB，MH⊥PB，
∴MH∥AG，
∵M是PA的中點，
∴H是PG的中點，
∴MH=$\frac{1}{2}$AG=$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$．
②當(dāng)點M、N在移動過程中，線段FH的長度是不發(fā)生變化；
作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖3，

∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，MH⊥PQ，
∴HQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠QFM=∠NFB}\\{∠QMF=∠BNF}\\{MQ=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=$\frac{1}{2}$QB，
∴HF=HQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$．
∴當(dāng)點M、N在移動過程中，線段FH的長度是不發(fā)生變化，長度為2$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了四邊形綜合，用到的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等三角形．