Question

5．如圖，拋物線y=ax²+bx+4交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，∠CBO=45°，OB=4OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當P為拋物線上在第一象限圖象上一點，設(shè)點P的橫坐標為m，點D在線段CO上，CD=m，當△PCD是以CD為底的等腰三角形時，求P點坐標；
（3）在（2）的條件下，是否存在拋物線上一點Q，使∠PCB=∠APQ？若存在，求Q點的橫坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點C的坐標，進而得出點B，A坐標，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先表示出點D坐標，進而得出E的坐標，由等腰三角形的性質(zhì)得出PE⊥CD，從而得出點P坐標代入拋物線解析式即可；
（3）先判斷出點A，D，P在同一條直線上，將∠BCP轉(zhuǎn)化成∠FDP上，再分兩種情況計算，①利用平行線即可得出直線PQ解析式，從而求出拋物線和直線PQ交點坐標即可，②利用等腰三角形的性質(zhì)得出點N坐標，即可求出直線PQ'的解析式，從而求出拋物線和直線PQ'的交點坐標即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4交y軸于點C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，
∴OB=OC=4，
∴B（4，0），
∵OB=4OA，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+3x+4．
（2）如圖1，過點P作PE⊥CD，

∵C（0，4），CD=m，
∴D（0，4-m），
∴CD的中點E坐標為（0，4-$\frac{m}{2}$），
∵△PCD是以CD為底的等腰三角形，
∴PE⊥CD，
∴P（m，4-$\frac{m}{2}$），
∵點P在拋物線y=-x²+3x+4上，
∴4-$\frac{m}{2}$=-m²+3m+4，
∴m=0（舍）或m=$\frac{7}{2}$，
∴D（0，$\frac{1}{2}$），P（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
即：P（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
（3）
存在點Q，
理由：如圖2，

由（2）知，D（0，$\frac{1}{2}$），P（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）；
∵A（-1，0），
∴直線AP的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∵D（0，$\frac{1}{2}$），
∴點A，D，P在同一條直線上，
過點D作DF⊥BC，則∠OCB=∠CDF=45°，
∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+∠BCP，
∵△PCD是以CD為底的等腰三角形，
∴∠OCP=∠CDP，
∴∠CDP=∠CDF+∠FDP=45°+∠FDP=45°+∠BCP，
∴∠FDP=∠BCP，
∵∠PCB=∠APQ，
∴∠FDP=∠APQ，
①當點Q在第三象限時，
過點P作PQ∥DF，則PQ和拋物線的交點就是Q，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC解析式為y=-x+4，
∵D（0，$\frac{1}{2}$），
∴直線DF的解析式為y=x+$\frac{1}{2}$，
∵P（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），
∴直線PQ解析式為y=x-$\frac{5}{4}$①，
由（1）知，拋物線解析式為y=-x²+3x+4②．
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$（此種情況是點P坐標）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，
∴Q（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{11}{4}$），
∴Q點的橫坐標為：-$\frac{3}{2}$，
②當點Q在第二象限是時，過點P作∠APQ'與DF相交于N，
∴ND=NP，
∴ND²=NP²，
∵直線DF解析式為y=x+$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)點N（n，n+$\frac{1}{2}$），
∵D（0，$\frac{1}{2}$），P（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），
∴ND²=n²+（n+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）²=2n²，
NP²=（n-$\frac{7}{2}$）²+（n+$\frac{1}{2}$-$\frac{9}{4}$）²，
∴2n²=（n-$\frac{7}{2}$）²+（n+$\frac{1}{2}$-$\frac{9}{4}$）²，
∴n=$\frac{35}{24}$，
∴N（$\frac{35}{24}$，$\frac{47}{24}$），
∵P（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），
∴直線PQ'解析式為y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{7}{4}$③，
聯(lián)立②③得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$（此種情況是點P的坐標）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{14}}\\{y=\frac{255}{156}}\end{array}\right.$，
∴Q'（$-\frac{9}{14}$，$\frac{255}{156}$），
∴Q'點的橫坐標為：-$\frac{9}{14}$，
即：Q點的橫坐標為：-$\frac{3}{2}$和-$\frac{9}{14}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點坐標，解本題的關(guān)鍵是將∠BCP轉(zhuǎn)化成∠FDP上，難點是判斷出點A，D，P在同一條直線上，也是解（3）的突破口．