Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交 AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AE為⊙O的切線；
（2）當(dāng)BC=8，AC=12時(shí)，求EM的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，可求出⊙O的半徑為3，線段BG的長(zhǎng)2．

Answer 1

分析 （1）連接OM．利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，由相似三角形的性質(zhì)，可求出圓的半徑，在直角三角形AEB中根據(jù)勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，再由平行線分線段成比例定理即可求出EM 的長(zhǎng)；
（3）由（2）可知圓的半徑為3，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H，則BG=2BH，根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結(jié)論BG=2BH=2．

解答 解：
（1）證明：連接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴$\frac{OM}{BE}$=$\frac{AO}{AB}$，
∵AC=AB=12，
即$\frac{R}{4}=\frac{12-R}{12}$，
解得R=3，
∴⊙O的半徑為3，
∵OM∥BE，
∴AM：EM=AO：BO，
∵BE=4，AB=12，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=8$\sqrt{2}$
即$\frac{8\sqrt{2}-EM}{EM}=\frac{9}{3}$．
解得：EM=2$\sqrt{2}$；
（3）由（2）可知圓的半徑為3，
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H，則BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四邊形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2．
故答案為：3，2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合知識(shí)，題目中還運(yùn)用到了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判斷和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及平行線的判斷和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．熟記和圓有關(guān)系的性質(zhì)定理和判斷定理是解題的關(guān)鍵．