Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，AE=10，cosA=$\frac{5}{13}$．
（1）求AD，CD的長；
（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和銳角三角函數(shù)可以求得AD、CD的長；
（2）根據(jù)題意和角平分線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)可以解答本題．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，AE=10，cosA=$\frac{5}{13}$，
∴cosA=$\frac{AE}{AD}=\frac{5}{13}$，
解得，AD=26，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=24，
∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
∴CD=24，
即AD=26，CD=24；
（2）∵AD=26，CD=24，cosA=$\frac{5}{13}$，
∴AC=AD+CD=50，
∴AB=130，
∵AE=10，
∴BE=140，
∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，BD=BD，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴BC=BE=140，
∵CD=24，
∴tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}=\frac{24}{140}=\frac{6}{35}$．

點(diǎn)評 本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問需要的條件．