Question

11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．O為AB的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)到E，使OE=OC．過點(diǎn)A作AD∥CE交BE的延長(zhǎng)線于D．
（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形．
（2）若BC=3，求△ABD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AE，周長(zhǎng)四邊形ACBE是平行四邊形，得出AC∥BE，由AD∥CE，即可得出四邊形ACED是平行四邊形．
（2）證出四邊形ACED是矩形，得出AB=CE=AD，證明△ABD是等邊三角形，得出AB=AD=BD，設(shè)AC=x，則AB=2AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程求出AB，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接AE，如圖所示：
∵O為AB的中點(diǎn)，
∴OA=OB，
∵OC=OE，
∴四邊形ACBE是平行四邊形，
∴AC∥BE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形．
（2）解：∵∠ACB=90°，四邊形ACED是平行四邊形．
∴四邊形ACED是矩形，
∴AB=CE=AD，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=AD=BD，
設(shè)AC=x，則AB=2AC=2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x²+3²=（2x）²，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$．
∴△ABD的周長(zhǎng)=3AB=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．