Question

14．如圖，在鈍角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于點(diǎn)M，取BC中點(diǎn)D，AC中點(diǎn)N，連接DN、DE、DF．下列結(jié)論：①EM=DN；②S_△CDN=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABDN}；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①首先根據(jù)D是BC中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)N，可得DN是△ABC的中位線，判斷出DN=$\frac{1}{2}AB$；然后判斷出EM=$\frac{1}{2}AB$，即可判斷出EM=DN；
②首先根據(jù)DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根據(jù)DN=$\frac{1}{2}AB$，可得S_△CDN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，所以S_△CDN=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABDN}，據(jù)此判斷即可．
③首先連接MD、FN，判斷出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△EMD≌△DNF，即可判斷出DE=DF．
④首先判斷出$\frac{EM}{EA}=sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FA，∠EMD=∠EAF，根據(jù)相似計(jì)三角形判定的方法，判斷出△EMD∽△∠EAF，即可判斷出∠MED=∠AEF，然后根據(jù)∠MED+∠AED=45°，判斷出∠DEF=45°，再根據(jù)DE=DF，判斷出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判斷出DE⊥DF．

解答 解：∵D是BC中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)，
∴DN是△ABC的中位線，
∴DN∥AB，且DN=$\frac{1}{2}AB$；
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于點(diǎn)M，
∴M是AB的中點(diǎn)，
∴EM=$\frac{1}{2}AB$，
又∵DN=$\frac{1}{2}AB$，
∴EM=DN，
∴結(jié)論①正確；

∵DN∥AB，
∴△CDN∽ABC，
∵DN=$\frac{1}{2}AB$，
∴S_△CDN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△CDN=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABDN}，
∴結(jié)論②正確；

如圖1，連接MD、FN，，
∵D是BC中點(diǎn)，M是AB中點(diǎn)，
∴DM是△ABC的中位線，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}AC$；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點(diǎn)，
∴FN=$\frac{1}{2}AC$，
又∵DM=$\frac{1}{2}AC$，
∴DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=DN}\\{∠EMD=∠DNF}\\{MD=NF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴結(jié)論③正確；

如圖2，連接MD，EF，NF，，
∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴M是AB的中點(diǎn)，EM⊥AB，
∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，
∴$\frac{EM}{EA}=sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵D是BC中點(diǎn)，M是AB中點(diǎn)，
∴DM是△ABC的中位線，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}AC$；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點(diǎn)，
∴FN=$\frac{1}{2}AC$，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，
又∵DM=$\frac{1}{2}AC$，
∴DM=FN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FA，
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，
∠EAF=360°-∠EAM-∠FAN-∠BAC
=360°-45°-45°-（180°-∠AMD）
=90°+∠AMD
∴∠EMD=∠EAF，
在△EMD和△∠EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{EM}{EA}=\frac{DM}{FA}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{∠EMD=∠EAF}\end{array}\right.$
∴△EMD∽△∠EAF，
∴∠MED=∠AEF，
∵∠MED+∠AED=45°，
∴∠AED+∠AEF=45°，
即∠DEF=45°，
又∵DE=DF，
∴∠DFE=45°，
∴∠EDF=180°-45°-45°=90°，
∴DE⊥DF，
∴結(jié)論④正確．
∴正確的結(jié)論有4個(gè)：①②③④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．即：兩個(gè)銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑．
（3）此題還考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．