Question

3．如圖，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，求證DE=$\frac{1}{2}$DG．

Answer 1

分析 （1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．
（2）連結(jié)BD，根據(jù)AAS證得△ADF≌△CDE得出DE=DF，然后根據(jù)垂徑定理得DF=$\frac{1}{2}$DG，即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE，
又點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)BD，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠AFD=∠CED=90°}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴DE=DF，
∵直徑AB⊥弦DG，由垂徑定理得DF=$\frac{1}{2}$DG，
∴DE=$\frac{1}{2}$DG．

點評 本題考查了切線的判定三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理等腰三角形的性質(zhì)等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直是證明切線的常用的方法．