Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO的斜邊OA在x軸上，點B在第一象限內(nèi)，AO=4，∠BOA=30°．點C（t，0）是x軸正半軸上一動點（t＞0且t≠4）：
（1）點B的坐標為（3，$\sqrt{3}$）；過點O、B、A的拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）作△OBC的外接圓⊙P，當圓心P在（1）中拋物線上時，求點C和圓心P的坐標；
（3）設△OBC的外接圓⊙P與y軸的另一交點為D，請將OD用含t的代數(shù)式表示出來，并求CD的最小值．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥OA于E，則∠BEO=90°，先由三角函數(shù)求出OB，再由三角函數(shù)求出BE、OE，即可得出點B的坐標；用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）先求出OB的中垂線的解析式，得出P（$\frac{t}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}t$+2$\sqrt{3}$），把點P坐標代入拋物線解析式，解方程求出t，即可得出P、C的坐標；
（3）連接CD，則CD為直徑，得出∠DBC=90°；分兩種情況：
①當點C在線段OA上時，證明△ABC∽△OBD，得出比例式$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，即可得出OD，根據(jù)勾股定理即可求出CD的最小值；
②當點C在點A右邊（t＞4）時，同理可得：△ABC∽△OBD，得出OD=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；根據(jù)勾股定理即可得出CD的最小值．

解答 解：（1）作BE⊥OA于E，如圖1所示：
則∠BEO=90°，
∵∠ABO=90°，∠BOA=30°，
∴OB=OA•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{3}$BE=3，
∴點B的坐標為：（3，$\sqrt{3}$）；
故答案為：（3，$\sqrt{3}$）；
∵O（0，0），A（4，0），B（3，$\sqrt{3}$），
∴過點O、B、A的拋物線解析式為y=ax²+bx，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}&{\;}\\{9a+3b=\sqrt{3}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴過點O、B、A的拋物線解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
故答案為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）如圖2所示：∵外接圓圓心P是直線x=$\frac{t}{2}$與OB的中垂線交點，
∴點P的橫坐標為$\frac{t}{2}$，
∵OB的中垂線過點（2，0）和OB的中點（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設OB的中垂線的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴OB的中垂線的解析式為：y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{t}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}t$+2$\sqrt{3}$），
要使P在拋物線上，則P點坐標滿足$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{t}{2}$）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{t}{2}$，
解得：t=2，或t=12，
∴P點的坐標為（1，$\sqrt{3}$），或（6，-4$\sqrt{3}$），
點C的坐標為（2，0），或（12，0）；
（3）連接CD、BD，如圖3所示：
則CD為直徑，
∴∠DBC=90°；
分兩種情況：①當點C在線段OA上時，
∵∠DBC=∠OBA=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
即∠1=∠2，
又∵∠BOD=∠BAC=60°，
∴△ABC∽△OBD，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，
∴OD=$\frac{（4-t）×2\sqrt{3}}{2}$=-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（-\sqrt{3}t+4\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4（t-3）^{2}+12}$，
∴當t=3時，CD有最小值為2$\sqrt{3}$；
②當點C在點A右邊（t＞4）時，
同理可得：△ABC∽△OBD，
∴OD=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；
根據(jù)勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}t-4\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4（t-3）^{2}+12}$，
∴當t=3時，CD有最小值為2$\sqrt{3}$；
綜上所述：OD為-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，或$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；CD的最小值為2$\sqrt{3}$．

點評 本題是圓的綜合題目，考查了坐標與圖形性質(zhì)、三角函數(shù)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、最小值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形相似和求出直線的解析式才能得出結(jié)果．