Question

15．如圖，已知直線l₁∥l₂，l₁、l₂之間的距離為8，點P到直線l₁的距離為6，點Q到直線l₂的距離為4，PQ=4$\sqrt{30}$，在直線l₁上有一動點A，直線l₂上有一動點B，滿足AB⊥l₂，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=16．

Answer 1

分析 作PE⊥l₁于E交l₂于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l₂于B，作BA⊥l₁于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．首先證明四邊形ABCP是平行四邊形，PA+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：作PE⊥l₁于E交l₂于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l₂于B，作BA⊥l₁于A，此時PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=4$\sqrt{30}$，PD=18，
∴DQ=$\sqrt{P{Q}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{156}$，CD=PD-PC=18-8=10，
∵AB=PC=8，AB∥PC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∴PA=BC，
∴PA+BQ=CB+BQ=QC=$\sqrt{D{Q}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{156+1{0}^{2}}$=16．
故答案為16．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建平行四邊形解決問題，屬于中考常考題型．