Question

14．定義：由線段AB和點C構(gòu)成的△ABC中，當AB邊上的高為6時，稱點C為AB的“等高點”，稱此時CA+CB為AB的“等高距離”．
（1）若A（-1，2），B（5，2），試寫出AB的“等高點”的坐標（寫出一點即可）；
（2）若A（0，3），B（-4，0）．
①在x軸上是否存在點C，點C為AB的“等高點”？若存在，求出此時AB的“等高距離”；若不存在，說明理由．
②試求在x軸下方，使得AB的“等高距離”取得最小值時點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等高點的定義，即可解決問題；
（2）①存在．如圖，設C是等高點，C（m，0），作CH⊥AB于H．由△ABO∽△CBH，推出$\frac{OA}{CH}$=$\frac{AB}{BC}$，可得$\frac{3}{6}$=$\frac{5}{4+m}$，解方程即可；
②易知過點C平行AB的直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，作點A關(guān)于直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$的對稱點A′，連接BA′交直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$于C′，此時“等高距離”取得最小值，求出點C′坐標即可；

解答 解：（1）∵A（-1，2），B（5，2），
∴AB∥x軸，且AB與x軸的距離為2，
∵AB邊上的高為6時，稱點C為AB的“等高點”，
∴AB的“等高點”的縱坐標為2+6=8或2-6=-4，
∴AB的“等高點”的坐標可以是（1，8）；

（2）①存在．
理由：如圖，設C是等高點，C（m，0），作CH⊥AB于H．
∵A（0，3），B（-4，0），
∴OA=3，OB=4，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠ABO=∠HBC，∠AOB=∠BHC=90°，
∴△ABO∽△CBH，
∴$\frac{OA}{CH}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{5}{4+m}$，
∴m=6，
∴C（6，0），
此時CA=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，BC=10，
∴此時等高距離為3$\sqrt{5}$+10．

②∵A（0，3），B（-4，0），
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
過點C平行AB的直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
作點A關(guān)于直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$的對稱點A′，連接BA′交直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$于C′，此時“等高距離”取得最小值．
易知直線AA′的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+3}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=-\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AA′與CC′的交點G（$\frac{18}{5}$，-$\frac{9}{5}$），
∴A′（$\frac{36}{5}$，-$\frac{33}{5}$），
∴直線BA′的解析式為y=-$\frac{33}{56}$x-$\frac{33}{14}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{33}{56}x-\frac{33}{14}}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{33}{10}}\end{array}\right.$．
∴C′（$\frac{8}{5}$，-$\frac{33}{10}$）．

點評 本題考查三角形綜合題、一次函數(shù)的應用、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用對稱解決最值問題，學會構(gòu)建一次函數(shù)利用方程組確定交點坐標，屬于注意壓軸題．