Question

7．已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是AD邊上任意一點(diǎn)，（不含端點(diǎn)A、D），連接PC，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接EC，是否存在∠ECP=∠DCP的情況？若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 作PM⊥CE于M，先由角平分線的性質(zhì)得出PD=PM，再證出∠4=∠2，得出PA=PM，因此PA=PD=$\frac{1}{2}$AD，再由△APE∽△DCP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{AE}{PD}=\frac{PA}{CD}$，求出AE，即可得出BE．

解答 解：存在；作PM⊥CE于M，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠DCP=90°，
∵∠ECP=∠DCP，
∴PM=PD，
∵PE⊥PC，
∴∠CPE=90°，
∴∠4+∠ECP=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠4=∠3，∠2=∠3，
∴∠4=∠2，
∴PA=PM，
∴PA=PD，
∴P為AD的中點(diǎn)，
∴PA=PD=$\frac{3}{2}$，
∵∠A=∠D，∠2=∠3，
∴△APE∽△DCP，
∴$\frac{AE}{PD}=\frac{PA}{CD}$，即$\frac{AE}{\frac{3}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{9}{8}$，
∴BE=2-$\frac{9}{8}$=$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、角的平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明PA=PD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．