Question

10．如圖，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點E，F(xiàn)，點E的坐標為（-8，0），點A的坐標為（-6，0）
（1）求k的值；
（2）若點P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點，在點P的運動過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探究：當點P運動到什么位置時，△OPA的面積為$\frac{27}{8}$，并說明理由；
（4）問在x軸上是否存在點Q，使得△EFQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得出S=$\frac{1}{2}$OA•y=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18；
（3）把S=$\frac{27}{8}$代入S=$\frac{9}{4}$x+18即可求得；
（4）分三種情況作出8個符合條件的Q點．

解答 解：（1）∵直線y=kx+6經(jīng)過點E（-8，0），
∴-8k+6=0，解得k=$\frac{3}{4}$；
（2）∵點P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點，
∴y=$\frac{3}{4}$x+6，
∵點A的坐標為（-6，0），
∴OA=6，
∴S=$\frac{1}{2}$OA•y=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18．
即S=$\frac{9}{4}$x+18（-8＜x＜0）；
（3）把S=$\frac{27}{8}$代入S=$\frac{9}{4}$x+18得$\frac{27}{8}$=$\frac{9}{4}$x+18，
解得x=-$\frac{13}{2}$，
∴當點P（-$\frac{13}{2}$，$\frac{9}{8}$）時，△OPA的面積為$\frac{27}{8}$；
（4）如圖，∵E（-8，0），F(xiàn)（0，6）
∴OE=8，OF=6，EF=10，
①以E為圓心以EF為半徑作圓交x軸于Q₁、Q₈，y軸于Q₄，
則Q₁（-18，0），Q₈（2，0），Q₄（0，-6），
②以F為圓心以EF為半徑作圓交x軸于Q₅，y軸于Q₃、Q₆，
則Q₅（8，0），Q₃（0，-4），Q₄（0，16），
③作EF的垂直平分線交x軸于Q₇，交y軸于Q₂，
通過三角形相似可求得Q₇（-$\frac{7}{4}$，0），Q₂（0，-$\frac{7}{3}$）．
綜上，符合條件的Q的坐標為（-18，0）或（2，0）或（0，-6）或（8，0）或（0，-4）或（0，16）或（-$\frac{7}{4}$，0）或（0，-$\frac{7}{3}$）．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積以及三角形相似的判定和性質(zhì)，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵．